негромко пишется слитно, потому что есть слово "громко" наречие и слово "негромко" можно заменить на "тихо". Когда можно заменить на одно слитное слово, тогда и проверяемое слово пишется слитно.
не спеша пишется раздельно, потому что нет такого слова "спеша", хоть мы и можем заменить на одно слово "медленно".
Объяснение выглядит несколько бредово и нелогично, но я его таким помню со школы